Immergültige Mathematik

Schön, dass es noch Dinge gibt, wie mathematische Grundrechenarten, die unverändert sind. Der Herr aus der Bäckerei hat sich nochmal gemeldet. Da gibt’s nix zu meckern:

Sehr geehrte Frau Wilkesmann,

sie haben vollkommen Recht. Ich werde dies nicht nur an unseren Steuerberater weitergeben, sondern tatsächlich auch an den Kassenhändler. Danke.

Mit freundlichen Grüßen

Dreisatz Teil 2

Kommentar vom 7. August 2010: Dreisatz (Teil 2): Einige praktische Beispiele

Während ich in Teil 1 die Theorie vorgestellt habe, möchte ich heute einmal zeigen, wo uns der Dreisatz denn wirklich weiterhilft, nicht nur bei Preisausschreiben 🙂

Da gibt es zum Beispiel das Berechnen des Spritverbrauchs. Natürlich können wir die Zahlen in eine Formel einsetzen – was aber ist, wenn wir die Formel vergessen haben? Dann wird es schwierig, nein – nicht wenn wir den Dreisatz kennen 🙂 Dreisatz heißt, wir müssen drei Größen kennen, um die vierte zu berechnen. Wir wollen wissen, wie viele Liter Benzin unser Auto auf 100 km verbraucht. Achtung, in der Frage steckt schon eine der vier Größen, nämlich die Entfernung „100 km“. Dann müssen wir natürlich wissen, wie viele Kilometer wir seit dem letzten Tanken gefahren sind. Wenn wir aufgepasst haben, hatten wir den Tageskilometerzähler gestellt 🙂 Nachdem wir getankt haben, können wir auf der Quittung genau ablesen, wie viele Liter wir getankt haben. Wir haben jetzt zwei Paare, die wir vergleichen wollen: die unbekannten Liter auf 100 km und die gerade getankten Liter auf die bekannte Strecke. Hier ist schon wichtig, dass wir richtig formulieren, nämlich erst die Liter, dann die Kilometer, dann ist der Rest nämlich einfach: X (gesuchte Zahl) Liter verhält sich zu 100 km Strecke wie gerade getankte Liter zu gefahrene km. Jetzt können wir selbst darauf eine Formel bilden, wenn wir beispielsweis gerade 38,5 Liter getankt haben und 417 km gefahren sind: X Liter verhält sich zu 100 km wie 38,5 Liter zu 417 km. Jetzt ersetzen wir noch die Wörter „verhält sich zu“ bzs. „zu“ durch das Divisionszeichen „:“ und das „wie“ durch das Gleichheitszeichen:

X : 100 = 38,5 : 417; wie gelernt: die beiden außenstehenden Größen multiplizieren, ebenso die Innenstehenden:
417 X = 100 * 38,5; jetzt nur noch wie gelernt nach X „auflösen“, d.h. beide Seiten durch 417 dividieren:
417 X : 417 = 100 * 38,5 : 417
X = 100 * 38,5 : 417 = 9,23

Wir haben nun die gesuchte Zahl gefunden und wissen, dass wir 9,23 Liter auf 100 km verbraucht haben. Nicht sehr sparsam 🙂

(Wer diese Rechnung öfter durchführt, wird bald merken, dass es auch ohne das Aufschreiben der Formel geht: Einfach die Liter mal 100 und durch die gefahrene Strecke dividieren.)

Auch beim Einkaufen stehen wir häufig vor dem Problem, dass nicht immer auf dem Preisschildchen ein Vergleichspreis steht. Es ist zwar gesetzlich vorgeschrieben, dass der Liter- oder Kilogramm-Preis mit auf dem Etikett erscheinen sollte – aber auf dem Markt ist das nicht so. Und wenn wir Batterien in Ebay kaufen wollen, wissen wir auch nicht auf Anhieb: Ist es nun billiger, wenn wir 17 Batterien für 23 Euro kaufen oder 12 Stück für 16 Euro? Auch hier kommen wir dem Problem mit dem Dreisatz näher. Diesmal haben wir scheinbar sogar vier Zahlen, hmmm, was tun? Da müssen wir uns klarmachen, dass wir nicht wie im Dreisatz gefordert zwei Zahlenpaare haben, die im gleichen Verhältnis zu einanderstehen, sondern einfach nur Zahlenpaare. Wir müssen uns die Frage anders stellen, zum Beispiel: Wenn ich 17 Batterien bei Händler A für 23 Euro kaufe, welchem Preis entspricht das bei 12 Batterien?

Der Hilfssatz lautet dann: 17 Batterien verhalten sich zu 23 Euro wie 12 Batterien zu X Euro, als Formel
17 : 23 Euro = 12 : X, und weiter:
17 * X = 23 * 12
X = 23 * 12 : 17 = 16,23 Euro

Da Händler B für seine 12 Batterien nur 16 Euro haben will, würde ich dort 23 Cent sparen.

(Auch hier können wir anders vorgehen, und einfach nur den Stückpreis berechnen, hätte dann aber nicht die Gesamtersparnis sofort parat.)

Auch die Zinsrechnung ist eine Dreisatzrechnung, bei der eine Einheit immer bekannt ist, nämlich die 100. Das vereinfacht auch die Rechnerei, deshalb arbeiten die wenigsten Zinsrechner mit dem Dreisatz – aber er hilft auch hier.

Wenn ich also bei der Bank mein sauer Erspartes in Höhe von 342 Euro einzahle und den mickrigen Zinssatz von vielleicht 1,2 % erhalten, was ist dann der Zins nach einem Jahr? Dafür muss ich mir klarmachen, dass 1,2% nichts anderes bedeutet als 1,2 auf 100 oder auch zu 100. Somit kann ich den Dreisatz erstellen:

1,2 verhält sich zu 100 (Euro) wie X zu 342 (Euro) ->
1,2 * 342 = 100 X ->
1,2 * 342 : 100 = 4,104, abgerundet 4,10 Euro.

Wenn ich wissen will, wie viele Zinsen auf einen Betrag kommen – ich gehe hier immer von einem Jahr aus, sonst wird die Rechnung komplizierter -, brauche ich nicht ständig den Dreisatz herzuleiten, sondern kann einfach Zinssatz mit Anlagesumme multiplizieren und durch 100 dividieren, in diesem Fall: 342 * 1,2 : 100.

Im dritten Teil werde ich noch ein wenig auf die Prozentrechnung eingehen und wie wir sie dank Taschenrechner (auch ohne Prozentfunktion) einfacher berechnen können.

Das Sommer-Preisausschreiben

Kommentar vom 13. Juni 2010: „Das neue Preisausschreiben“

Wieder konnte ich einen „Gönner“ für einen tollen Preis gewinnen – manchmal tut es mir wirklich leid, dass ich nicht an meinen eigenen Preisausschreiben teilnehmen kann 😆 Die Birlin-Mühle, bei der ich seit meinen ersten Brotbackanfängen begeisterte Kundin bin, stiftet einen Korb voller Zutaten für das Backen mehrerer Brote. Die Birlin-Mühle, übrigens ein Familienunternehmen, war nie müde, meine Fragen stets ausgiebig zu beantworten, auf kleine Probleme ebenso professionell zu reagieren wie auf Entwicklungen im Biomarkt allgemein.

Die Preisaufgabe genau wie auch den Preis stelle ich euch diesmal in einem Video vor:

Einsendeschluss: 11. Juli 2010, 24 Uhr
Einsendung bitte an: vollwertpreis@aol.com
und gebt bitte den Buchstaben an, der die richtige Lösung bezeichnet. Außerdem bitte auch euren Namen und eure Post-Adresse in die Mail schreiben, das erspart mir Arbeit. ACHTUNG: Wer sich nicht an diese Vorgaben hält, kommt auch bei korrekter Lösung nicht in die Auslosung.

Der Rechtsweg ist ausgeschlossen, der Gewinner bzw. die Gewinnerin wird aus allen richtigen Einsendungen von Eric gezogen, der den Teilnehmern vorheriger Preisausschreiben ja schon wohlbekannt ist. Bei meinen Rätseln darf jeder teilnehmen, ob mit mir befreundet, verwandt oder verfeindet 🙂

Aus Gründen des Datenschutzes nenne ich Gewinner auf der Homepage nur noch mit Vornamen und erstem Buchstaben des Nachnamens. Nach Ablauf eines Preisausschreibens lösche ich sämtliche Unterlagen dazu: Ausdrucke und auch Emails. Das heißt, ich speichere weder Namen noch Adresse irgendwo.

Nachtrag: Ich habe mittlerweile zwei Einsendungen aus dem Ausland erhalten.
Ich habe an die Möglichkeit nicht gedacht, als ich das Preisausschreiben erstellt habe.
Das Porto für ein Paket mit diesem Gewicht würde das Mehrfache des Warenwertes betragen.
Sollte eine dieser Einsendungen aus dem Ausland gewinnen, wird der ausländische Gewinner einen anderen Preis erhalten und der Getreidekorb wird nochmals unter den richtigen Einsendungen ausgelost.

Ich bin 99,99 % Vollwertlerin

Kommentar vom 16. Mai 2010: „Prozentrechnung“

Die Prozentrechnung ist eine Sonderform des Dreisatzes. Der Dreisatz ist eines der wertvollsten Dinge, die ich aus der Schule mit ins Leben genommen habe, und das gilt auch für die Prozentrechnung. Es lohnt sich immer wieder, einmal genau auf die Zahlen zu schauen, wenn wir mit Prozent-Informationen überschüttet werden. Das gilt nicht nur für Statistiken und Medien, es begegnet uns ja auch im normalen Leben. Wie leicht sagt sich das: „Ich bin 100% sicher, dass…“ oder „ich lebe jetzt 70% vegetarisch“. Mit Prozentzahlen lässt sich gut beeindrucken – wir imponieren uns selbst und anderen, wenn wir uns in Prozentzahlen präsentieren. Ich rechne das dann gerne um. Da gibt es manchmal erstaunliche Erkenntnisse. Und wenn ich jetzt ein Beispiel aus dem Leben zitiere, so möchte diejenige, um die es geht, bitte nicht beleidigt sein. Es ist nur so ein herrliches Beispiel.

Vollwertler wissen ja, dass ihr Rohkostanteil hoch sein soll. Stolz verkünden sie dann gelegentlich „Ich bin jetzt schon bei 50% Rohkost!“ Und drei Jahre später sind sie bei 70%. Doch manchmal kann ich mich des Gefühls nicht erwehren, dass das mehr gefühlte als wirklich berechnete Prozente sind. So las ich dann letztlich in einer Email: „Ich war ja schon zu 98% Rohköstler, aber jetzt esse ich abends immer drei kleine Pellkartoffeln, bin also nur noch 95% Rohköstler“. Ich stutzte, denn ich bin ja so ein Mensch, der Zahlen gerne auf den Grund geht.

Die Rechnung war recht einfach: Wenn jemand 95% Rohkost und drei kleine Pellkartoffeln isst, so müssen logischerweise diese Pellkartoffeln 5 % sein, denn wir müssen immer auf 100% kommen. Nichts anderes heißt ja „Prozent“, das vom Lateinischen pro centum (100) kommt. Also habe ich mich mit spitzen Stift an jenem Sonntag Morgen hingesetzt und gerechnet. Ich will da jetzt nicht unbedingt eine Formel für den Dreisatz hinschreiben, in diesem Fall geht es auch einfacher. Wenn 3 Pellkartoffeln 5 % sind, muss ich ja nur noch wissen, wie viel diese Kartoffeln weigen, dann kann ich ausrechnen, was diese Rohköstlerin sonst noch so an Menge isst. Drei kleine Kartoffeln wiegen – und dann sind sie schon sehr klein – 150 g. 95 (%) sind wie viel mal 5 (%)? Einfache Aufgabe – genau 19 mal. Jetzt muss ich nur noch ausrechnen, wie viel 150 g (= 5 %) x 19 sind, dann habe ich 95 %, nämlich 19 x 5%. Da war ich dann erstaunt: Diese 95%-Rohköstlerin muss am Tag neben den drei Pellkartoffeln noch 2850 g Rohes essen, wenn die Rechnung stimmen soll (150 x 95 = 2850). Meine Güte, ich war beeindruckt! Ich bin nun wirklich mit einem gesunden Appetit ausgestattet und kann eine Menge essen. Aber 150 g Pellkartoffeln am Tag plus 2850 g rohes? Das sind zwei Weißkohlköpfe. Das ist ein großer Weißkohl plus 2 riesige Tüten Datteln. Und die betreffende Rohköstlerin hatte mir auch immer erzählt, wie schlank sie ist. Ich war beeindruckt.

Ich antwortete also flugs, dass ich wirklich überrascht bin, wie sie denn 2850 g Rohes neben den Kartoffeln verdrückt! Aber die Rohköstlerin hatte den Gag an der Geschichte noch nicht so ganz durchschaut, sondern sagte, dass sie natürlich nicht so viel äße, viel viel weniger. Drei Walnüsschen mit einer Banane zum Frühstück, zwischendurch ein halbes winziges Melönchen, abends ein Wildkräutersalat mit den besagten Kartoffeln. Und sie meinte wohl, mir jetzt gut demonstriert zu haben, dass sie ja viel weniger isst und somit eben 95% keine 2850 g sind bei dem Spatzenappetit.

Leider falsch gedacht. Prozente sind relative Größen, keine festen Mengen, die ich mir auf den Teller packen kann. Was jene Rohköstlerin völlig übersah war, dass dadurch, dass sie nämlich bei weitem keine 2850 g Rohes isst, sie von den 95% Rohkost noch weit entfernt ist (nicht, dass ich das für wichtig halte). Ich habe auch diese präzise genannten Mengen einmal zusammengerechnet und wieder zurück auf Prozente gerechnet. Dabei war ich noch großzügig, habe die rohen Mengen auf 850 g gesetzt (obwohl sich das in der Mail noch weniger las). 150 g auf 850 g umgerechnet sind (für Formelliebhaber: 150/850 = x/100 -> x=150×100/850 = 17,6%). Da bleiben also mal gerade 82% Rohkost. Das ist natürlich nicht schlecht – aber eben nicht dasselbe, als wenn jemand so tut, als seie er schon fast Rohköstler.

Die Moral von der Geschicht‘? Seid vorsichtig bei Prozentzahlen, lasst euch nicht beeindrucken, sondern rechnet selbst nach. Verteilt Prozentzahlen nicht wie gefühlte Temperaturen, sondern als mathematisch exakte Zahlen. Und vergesst endlich den Ehrgeiz, beim Essen auf Prozente zu kommen. Das lohnt nur bei den Zinsen 🙂